Définition
Les distributions de probabilité (au moins telles que nous les utiliserons) sont associées à des variables numériques (continues ou discrètes). Comme leur dénomination le sous-entend bien, elles précisent comment se répartissent les probabilités associées aux différentes valeurs que peut prendre une variable aléatoire. Le plus souvent, elles sont représentées graphiquement.
exemples :
- distribution associée au jet parfait d'un dé parfait : {1: 1/6, 2: 1/6,
3: 1/6, 4: 1/6, 5: 1/6, 6: 1/6}. On qualifie cette distribution
d'uniforme car elle assigne la même probabilité à chaque valeur possible.
- distribution associée à une loi normale
d'espérance nulle et de variance unité.
L'espérance correspond au mode de la loi normale, la variance correspond au carré de l'écart-type, deux indices de dispersion de la distribution. Comme on le voit sur le graphe, la loi normale est symétrique autour de son espérance.
- distribution associée à une loi uniforme sur [0,1]. C'est la fonction
égale à 1 sur l'intervalle et zéro partout ailleurs. Elle est uniforme
dans la mesure où elle indique une probabilité égale à toute portion de
[0,1] qui est de même longueur. Plus explicitement, la probabilité
qu'elle soit comprise entre a et a+d est la même que pour b et b+d ; la
localisation n'intervient pas, seule la longueur du segment compte. Si on
note U, la variable aléatoire, on peut l'écrire : P(a < U
< a+d) = d = P(b < U < b + d) si 0 <= a <= b
<= b+d.
remarques :
- Il y a deux manières (équivalentes) classiques de représenter une
distribution : soit par sa densité, soit par sa fonction de répartition
(aussi appelée courbe des fréquences cumulées). La première est telle que
la probabilité d'appartenance à un segment est la surface sous la courbe
pour ce segment, la seconde est la probabilité que la variable soit
inférieure à l'abscisse. La somme sous toute la courbe de densité est 1 ;
la fonction de répartition atteind (ou tend asymptotiquement) vers 1.
Exemple du jet de dé. Les probabilités discrètes se traduisent par des escaliers pour la fonction de répartition.
Exemple de la loi normale centrée réduite. Si la densité (en haut) permet de bien repérer les zones de haute probabilité (mode), un des avantages de la fonction de répartition est de permettre de lire directement des probabilités qui ne sont accessibles que visuellement par l'aire sous la densité.
La binomiale est un exemple de distribution discrète qui peut ressembler à une distribution normale.
- La notion de distribution se généralise au cas de variables vectorielles sans problème, même s'il est
plus délicat de les figurer graphiquement.
Les courbes de niveau (ici d'une loi binormale) sont celles de la fonction de densité qui dépend des deux variables aléatoires (ici X et Y).
- Pour les variables aléatoires continues, un certain nombre de
caractérisations liées à la forme de la densité sont usitées :
- mode : valeur pour laquelle la densité est la plus haute,
- uni ou plurimodale suivant que la densité exhibe un ou plusieurs maximum locaux,
- disymétrique (à gauche ou à droite),
- applatie ou pointue (par rapport à la forme de la distribution normale)
Sur cet exemple de loi bimodale (environ à 0.1 et 0.65), on constate que si les deux modes sont bien détectés par la densité (en haut), c'est beaucoup moins évident pour la fonction de répartition (en bas). Par sa définition la fonction de répartition est toujours non décroissante et les creux ne sont donc que des croissances ralenties.