loi bInomiale

La loi binomiale est une loi discrète qui prend ses valeurs sur {O,1,2,...,n} en fonction d'un paramètre de probabilité p. n est dénommée taille de la binomiale et pourrait être considéré comme un paramètre. C'est une des premières distributions qui a été étudiée ; les coefficients binomiaux se retrouvent dans le célèbre triangle de Pascal. Elle est généralement définie comme le nombre de succès de n essais indépendants de même probabilité p de succès. Son espérance est np et son écart-type de sqrt(np(1-p)).

exemples

1. Le nombre de filles dans une famille de trois enfants.
2. Le nombre de personnes portant des lunettes et ayant pris place dans un wagon de train de banlieue.

remarques

• On peut imaginer que cette loi s'applique dans de très nombreuses situations. Néanmoins, il ne faut jamais oublier les deux postulats qui la fondent (i) la constance de la probabilité de succès d'un essai à l'autre, (ii) l'indépendance de ces essais.

  Il convient de noter que, contrairement à ce qu'on pourrait croire, ils s'appliquent très bien lors d'un échantillonnage d'une sous-population dans une grande population. Supposons que l'on s'intéresse à l'occurrence d'une maladie dans une population de N individus en sélectionnant (au hasard) un échantillon de taille n. La variable aléatoire considérée est le nombre de malade (noté m) dans l'échantillon. On posera volontiers que m suit une loi binomiale de taille n et de paramètre p, la probabilité d'être malade pour un individu de la population.
  

  • Décomposant l'échantillonnage en une série de tirages successifs, on est en droit de remettre en cause l'égalité des probabilités (puisque la proportion de malades dans la population restante est modifiée à chaque tirage) et l'indépendance (puisque si on sait avoir tiré un malade la première fois, on peut en déduire la diminution de la probabilité d'en tirer un la seconde fois). En fait, cet argument ne vaut que pour des cas où le rapport de n sur N est proche de 1. Des calculs élémentaires montrent qu'il est complètement négligeable dans la quasi-totalité des situations réelles.
  • Un autre argument, qui semble plus sérieux, est celui qu'a priori toutes les personnes de la population n'ont pas la même probabilité d'être malade. Par exemple, on peut savoir que les bébés et les personnes très âgées sont plus sujettes que les autres à la maladie. Mais cet argument ne vaudrait que si on notait en même temps que la maladie, l'âge des personnes échantillonnées et qu'on voulait conditionner la distribution de n en fonction de cette covariable ! En cas contraire, on s'intéresse à la probabilité qu'une personne quelconque de la population soit malade, sans tenir compte de son âge. Cette probabilité est effectivement une valeur moyenne des probabilités fonction de l'âge, suivant la répartition des âges dans la population. C'est d'ailleurs pour cela qu'il faut tirer au sort (avec égale probabilité) les individus, et ne pas se contenter d'interroger les pensionnaires des maisons de retraite, même si c'est plus commode. Dans un contexte baysien, ce raisonnement est dénommé échangeabilité. La probabilité p est donc bien constante d'un tirage à l'autre.
• On note souvent la binomiale par Binom(n,p) ou même B(n,p).
• Dès que n est assez grand, l'approximation Normale de la binomiale est très bonne. Comme le montre cette série de diagrammes où les abscisses correspondent aux valeurs de la variable aléatoire et les ordonnées sont les probabilités pour la distribution binomiale et la densité de probabilité pour la loi normale.

  

  Cette comparaison de la loi binomiale (les batons noirs) et de la loi normale (pointillés bleus) pour une probabilité faible de p=0.10 montre que pour des tailles d'échantillon (n) assez faibles, l'approximation est bonne, pour ne pas dire excellente.

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